Лабораторные по мкэ в mathcad. Основа метода конечных элементов - Tgeh — ЖЖ

Раздел 7. Метод конечных элементов (МКЭ).

7.1. ЗАДАЧА. Выполнить расчет сил, действующих в узлах элемента (рис. 7.1) .

Рис. 7.1. Шарнирно опертая балка C
p - распределенная поперечная нагрузка, E 1 - модуль упругости балки, A 1 - постоянное сечение балки, L - длина балки, x i , y i - координаты узловых точек балки, u i , v i - перемещения узловых точек балки, U i , V i - перемещения балки, i, n - узловые точки балки

Инженерные конструкции можно рассматривать как некоторую совокупность конструктивных элементов, соединенных в конечном числе узловых точек. Если известны соотношения между силами и перемещениями для каждого отдельного элемента, то можно описать свойства и исследовать поведение конструкции в целом.

На рис. 7.2 изображена двумерная конструкция, состоящая из отдельных частей, соединенных между собой в точках, пронумерованных от 1 до n. Соединения в узлах предполагаются шарнирными.

Рис. 7.2. Типичная конструкция, составленная из отдельных элементов
Сначала допустим, что в результате расчета или на основе экспериментальных данных достоверно известны характеристики каждого элемента. Силы, возникающие в узлах 1 - 3 элемента a , однозначно определяются перемещениями этих узлов, действующей на элемент распределенной нагрузкой p и его начальной деформацией. Начальная деформация может быть обусловлена температурным воздействием, усадкой или несовершенством сборки. Силы и соответствующие им перемещения определяются компонентами U, V и u, v в какой-либо системе координат.

Записывая силы, действующие во всех (в трех для рассматриваемого случая узлах элемента a, в виде матрицы), получим

а для соответствующих перемещений узлов

если предположить, что элемент упругий, то основные соотношения всегда могут быть записаны в виде

Где - силы, уравновешивающие действующие на элемент распределенные нагрузки, - силы в узлах, обусловленные начальными деформациями, которые могут возникать, например, при изменении температуры без перемещения узлов. Первый член в этой формуле представляет собой силы, вызванные перемещениями узлов.

Предварительный расчет или эксперимент позволяет однозначно определить напряжения в любой заданной точке через узловые перемещения. Записывая эти напряжения в виде матрицы , получаем соотношение в форме

Где последние два члена - напряжения, обусловленные распределенными нагрузками, и начальные напряжения при отсутствии узловых перемещений.

Матрица [k] a называется матрицей жесткости элемента, а [S] a - матрицей напряжения элемента.

Соотношения (7.1) и (7.2) проиллюстрированы на примере элемента с тремя узлами, в каждом из которых действуют только две компоненты силы. Ясно, что все рассуждения и определения справедливы и в более общем случае. Элемент b в рассматриваемом случае связан с соседними только в двух точках, хотя другие элементы могут иметь таких точек и больше. С другой стороны, если соединения элементов считать жесткими, то требуется рассматривать по три компоненты обобщенной силы и обобщенного перемещения, причем за третьи компоненты следует принять соответственно момент вращения и угол поворота. Для жесткого соединения в трехмерной конструкции число компонент в узле равняется шести. Таким образом, в общем случае

где F i и б i имеют одинаковое число компонент или степеней свободы.

Ясно, что матрицы жесткости элемента всегда будут квадратными вида

где k ii и т.д. - также квадратные подматрицы размерности l x l , а l - число компонент силы в рассматриваемых узлах.

В качестве примера рассмотрим двумерную задачу о шарнирно опертой C балке постоянного сечения A с модулем упругости E (рис. 7.1). Балка нагружена равномерно распределенной поперечной нагрузкой p и подвержена однородной температурной деформации

г 0 =aT

Если концы балки имеют координаты x i , y i и x n , y n то ее длина может быть вычислена как

А ее угол наклона к горизонтальной оси

В каждой узловой точке необходимо рассмотреть только по две компоненты силы и перемещения.

Очевидно, что узловые силы, обусловленные поперечной нагрузкой, записываются в виде матрицы

Элементы этой матрицы равны соответствующим компонентам реакций опор балки, то есть pL/2 . Для компенсации температурного расширения г 0 нужно приложить осевую силу EaTA , компоненты которой

Наконец, перемещения узловых точек элемента

вызовут его удлинение (u n -u i)cosa+(v n -v i)sina . Величина удлинения, умноженная на EA/L , даст осевую силу, компоненты которой можно найти, подставив величину этой силы вместо в предыдущее выражение. Стандартная форма имеет вид

Итак, для рассматриваемого простейшего случая определены все слагаемые основного уравнения (7.1). Нетрудно записать в форме (7.2) и напряжения в любом поперечном сечении элемента. Если, например, ограничиться рассмотрением среднего сечения балки C, напряжения, возникающие в результате осевого растяжения и изгиба элемента, можно записать в виде

Где d - половина высоты сечения, а I - момент инерции. В это выражение входят все слагаемые формулы (7.2).

Для более сложных элементов требуются более тонкие приемы расчета, но все равно результаты имеют такую же форму.

Типичная процедура решения задачи МКЭ по методу перемещений для плоского треугольного элемента при упругом поведении материала может быть представлена следующими этапами :

1) Расчетная область разделяется воображаемыми линиями на конечные элементы (КЭ) прос ой формы, например, треугольники.

2) Производится нумерация КЭ и узлов, КЭ связываются между собой в узловых точках, определяются неизвестные в узлах и степени свободы узлов; в качестве неизвестных выбираются перемещения узлов.

3) Выбираются функции (линейные полиномы), аппроксимирующие перемещения в каждом КЭ, которые выражаются через узловые перемещения.

Рассматривается КЭ e , имеющий три узла i, j, m . На рис. 7.4 показан типичный треугольный элемент с узлами i, j, m , пронумерованными против часовой стрелки. Перемещения каждого узла имеют две компоненты

А шесть компонент перемещений элемента образуют вектор

Перемещения внутри элемента должны однозначно определяться этими шестью величинами.

Рис. 7.4. Элемент сплошной среды для расчета плоского напряженного или плоского деформированного состояния
Простейшим представлением являются линейные полиномы

Значения шести постоянных a i легко найти из двух систем, состоящих из трех уравнений, которые получаются в результате подстановки в (7.3) узловых координат и приравнивания значения перемещений соответствующим перемещениям узловых точек. Записав, например,

выражают a 1 , a 2 , a 3 через величины узловых перемещений u i , u j , u m и окончательно

остальные коэффициенты получаются циклической перестановкой индексов i, j, m , а величина определяется соотношением

Аналогично можно представить перемещение v в вертикальном направлении

Соотношения (7.5а) и (7.6) в стандартной форме определяют перемещения любой точки внутри элемента

Где I - единичная матрица размерности 2x2, - координатные функции, которые называются функциями формы

4) Через узловые перемещения выражаются также деформации и напряжения.

Полную деформацию в любой точке внутри элемента можно охарактеризовать тремя составляющими, которые дают вклад во внутреннюю работу:

Используя равенства (7.7) или (7.5а) и (7.6), имеют

что явным образом определяет матрицу [B] .

Матрица [B] не зависит от координат точки внутри элемента, и, следовательно, деформации в нем постоянны.

Матрица упругости [D] , входящая в соотношение, которое в рассматриваемом случае имеет вид

может быть записана в явном виде для любого материала (в соотношение (7.11) не включен аддитивный член ). - начальные деформации, не зависящие от напряжений, могут возникать по разным причинам. В общем случае начальные деформации характеризуются вектором

Плоское напряженное состояние в изотропном материале. Для плоского напряженного состояния изотропного материала имеем по определению

Разрешая эти соотношения относительно напряжений, получают матрицу [D] в виде

где E - модуль упругости, a v - коэффициент Пуассона. Плоское деформированное состояние в изотропном материале. В этом случае, кроме трех компонент напряжения, существует нормальное напряжение Q z . Для частного случая изотропного теплового расширения

и, кроме того,

Исключая Q z , определяют три остальные компоненты напряжения. Полагая начальную деформацию равной нулю и сравнивая с соотношением (7.10) получают матрицу [D] в виде

5) Определяется система сил , которые статически эквиваленты граничным напряжениям и действующим на элемент распределенным нагрузкам. Каждая из сил должна иметь столько же компонент, сколько и соответствующие узловые перемещения , и действовать в соответствующем направлении. Простейший способ сделать узловые силы статически эквивалентными действующим граничным напряжениям и распределенным нагрузкам состоит в задании произвольного (виртуального) узлового перемещения и приравнивании внешней и внутренней работ, совершаемых различными силами и напряжениями на этом перемещении.

Для КЭ e вектор-столбец усилий имеет вид

Где - вектор-столбец перемещений узлов данного КЭ, индексы р и о относятся к распределенным и начальным нагрузкам соответственно, - матрица жесткости КЭ

Матрица жесткости элемента ijm определяется с помощью общего соотношения

Где t - толщина элемента, а интегрирование производится по площади треугольника. Если предположить, что толщина элемента постоянна, что тем ближе к истине, чем меньше размеры элемента, то, поскольку ни одна из матриц не содержит x или y , имеют простое выражение

Где - площадь треугольника [введенная соотношением (7.5в)]. Такая форма записи позволяет вычислить матрицу с помощью ЭВМ. Матрицу [B] , определенную соотношением (7.9), можно записать в виде

Матрица жесткости элемента может быть записана в виде

где подматрицы размерности 2x2 строятся следующим образом:

6) Составляется ансамбль КЭ и формируется глобальная матрица жесткости [K] всей расчетной схемы

7) Составляется

И решается система линейных алгебраических уравнений

Считаем узловые силы, обусловленные начальной деформацией и напряжениями, нулевыми.

В общем случае плоского напряженного или деформированного состояния на каждый элемент единичной площади в плоскости x, y действуют распределенные объемные силы

В направлениях соответствующих осей.

Вклад этих сил в узловые силы определяется выражением

или на основании (7.7)

при условии, что объемные силы X и Y постоянны. Так как N i не является постоянной, должно быть выполнено интегрирование.

Если за начало координат выбран центр тяжести элемента, вычисления упрощаются. В этом случае

И, используя (7.8), получают

или

Для всякого элемента

Это означает, что все объемные силы, действующие в направлениях x и y, распределены между тремя узлами поровну.

8) По найденным значениям перемещений в каждом элементе определяются в соответствии с постановкой задачи деформации, а затем напряжения.

Ниже реализована в математическом пакете Mathcad рассмотренная процедура решения для тестовой задачи растяжения пластины из двух КЭ. Узловые нагрузки распределяются по всем узлам пропорционально числу КЭ в узле.

Здесь приводится изложение упрощенного алгоритма решения плоской задачи механики деформируемого твердого тела методом конечных элементов в пакете Mathcad, опубликованного в моей статье в журнале Exponenta.Pro (№3, 2003 г.), а также на форуме Exponenta.ru. Дату поста ставлю соответствующую.

Рассматривается простейший и в то же время наиболее распространенный вариант с разбиением области на треугольные элементы. (По ходу дела ориентировался на алгоритм, изложенный в книге Фадеев А.Б. Метод конечных элементов в геомеханике. - М.: Недра, 1987 ).

1. Подготовка исходных данных.

Поскольку необходимо задать информацию о каждом из элементов и узлов расчетной области, удобнее всего использовать для подготовки данных табличный редактор Excel, тем более что в Mathcad предусмотрена возможность импорта данных из файлов формата.prn. Создается в Excel два файла с таблицами, содержащими сведения об элементах и узлах. Структура таблиц и размерности величин в них приведены на рис. 1 и 2. В таблице данных об узлах имеются два столбца специальных переменных Рх и Ру , которым присваивается признак фиксации перемещения вдоль оси 0х или 0у соответственно (принимает значение 1, если задано нулевое перемещение и 0 – если перемещение неизвестно).

Рис. 1. Структура таблицы исходных данных с информацией об элементах.

Рис. 2. Структура таблицы исходных данных с информацией об узлах и заданных узловых силах и перемещениях.

Для сохранения таблиц в нужном формате, выбираем Файл->Сохранить как… , указываем в соответствующих полях имя файла и тип – Форматированный текст (разделитель – пробел) . После нажатия кнопки Сохранить , нажать в появившемся окне Да . Таким образом, получаем файлы с именами, например, EL_1.prn и KN_1.prn.

2. Загрузка данных в Mathcad. Подготовка переменных.

Для удобства нумерации элементов массивов далее в книге Mathcad индекс первых элементов в массивах устанавливается равным единице:

Для получения данных из файлов в Mathcad используется функция READPRN(“filename.prn”) (возможно указание полного пути к файлу, в противном случае используется текущая папка, путь к которой можно узнать с помощью функции CWD).

Предположим, ранее созданные файлы находятся в папке DATA на диске D: Присваивается их содержимое матрицам DEL и DKN:

Присвоим соответствующим переменным значения из матриц:

Для проверки правильности исходных данных и использования в дальнейшем расчете, необходимо сформировать вектор узловых сил с учетом действия массовых сил, вектор заданных перемещений, признаков фиксации перемещений и рассчитать площади элементов.

Площадь n–го элемента удобно задать в виде функции пользователя (в векторе V перечисляются глобальные номера узлов элемента):

Общая площадь расчетной области:

В массовые силы пересчитывается вес элементов, поровну на каждый из их узлов:

Узловые силы, перемещения и их признаки размещаются в векторах последовательными парами значений: на четных позициях вертикальные компоненты, на нечетных горизонтальные:

3. Расчет матрицы жесткости системы.

Матрица жесткости системы получается путем объединения матриц жесткости элементов [K] , которые, в свою очередь рассчитываются по следующему выражению

Где Delta - площадь элемента; [B] - матрица производных функций формы (функция влияния узлов), [D] - матрица связи напряжений и деформаций:

Площадь элемента вычисляется ранее заданной функцией пользователя A(n) . Матрицу [D] также удобно задать в виде функции пользователя; для условий плоской деформации она будет иметь вид

Матрица [B] связывает между собой перемещения узлов элемента с его деформацией:

(выражения для функций формы Nj , Nk получаются путем круговой подстановки индексов в порядке i , j , k ),

i, j, k - номера узлов элемента, xi,j,k , yi,j,k - координаты узлов.

После несложных преобразований матрицу [B] можно представить в виде

Матрицу [B] представим в виде функции пользователя, задав предварительно вспомогательную матрицу P , определяющую порядок перестановки индексов в функциях формы:

Матрица жесткости системы вычисляется в следующем программном блоке:

(объединение матриц жесткости элементов в МЖС производится по следующему правилу: член МЖС Kci,j является суммой членов Ki,j из матриц жесткости всех элементов, примыкающих к узлу с і-й степенью свободы).

4. Решение системы уравнений

После этого і-й столбец и і-я строка МЖС, а также і-й неизвестный член в векторе сил могут быть удалены. Для удаления строк и столбцов из МЖС используем субматрицы, заданные функциями пользователя; М11 - удаляет первую строку и столбец, Mnn - последние, МI-IV - промежуточные.

Таким образом, нужно решить систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) . В данном случае возможности системы Mathcad позволяют сильно упростить задачу. Для этого предусмотрена функция lsolve(M,V) для нахождения вектора решения СЛАУ, коэффициенты которой содержатся в массиве М, а свободные члены – в векторе V.

Программный модуль слева возвращает «на места» в общем векторе заданные узловые перемещения, ранее из него удалённые. Второй блок создаёт два вектора с осевыми компонентами узловых перемещений.

5. Нахождение осевых деформаций и напряжений в элементах

Зная полученные узловые перемещения, можно рассчитать для каждого элемента деформации и напряжения по соотношениям, упомянутым в п.3 (сигма и эпсилон):

В каждом элементе также подсчитываются главные напряжения и угол между осью 0у и вектором максимального главного напряжения . Чтобы избежать деления на ноль в строке вычисления угла использовано условное выражение, которое в случае равенства нулю выражения в знаменателе дроби присваивает углу значение .
.

6. Сохранение результатов.

Расчет по вышеизложенной процедуре занимает довольно непродолжительное время (например, на ПК с процессором Pentium-IV-1300 MHz; 128 MB RAM время расчета для области из 119 элементов 95 узлов составляет ~3 сек.), тем не менее, желательно сохранить результаты для последующего анализа.

Для этого сформируем матрицы, характеризующие НДС и поле перемещений, записав в них также координаты центров элементов и узлов:

(для нахождения центров элементов использована функция mean(), возвращающая среднее значение элементов вектора)

Для записи данных в файл в Mathcad предусмотрена функция WRITEPRN(«filename.prn»); перед её использованием можно задать предварительно количество знаков после запятой переменной PRNPRECISION и ширину столбца в файле переменной PRNCOLWIDTH:

Рис. 3. Расчетная схема и её конечно-элементное представление.

В данном случае при разбиении на треугольные элементы получилась сеть из 95 узлов и 119 элементов. Нумерация – произвольная.

Все виды нагрузки, действующие на исследуемую область и формирующие в ней определенное напряженно-деформированное состояние, приводятся к статически эквивалентным силам, приложенным в узлах.

В силу симметрии граничные условия по перемещениям следующие: горизонтальные компоненты вдоль вертикальной (x=0 ) и вертикальные вдоль горизонтальной (y=0 ) сторон квадрата равны нулю. Неизвестны перемещения всех узловых точек внутри массива, на контуре выработки и на грани области.

Результаты расчета можно представлять в виде эпюр (рис. 4), изолиний напряжений или перемещений (рис. 5, а), поверхностей уровня (рис. 5, б). Сохранение и представление результатов расчета в виде векторов (матриц) позволяет сделать это без затруднений.

Рис. 4. Эпюры напряжений вдоль горизонтальной оси (для сглаживания значений значения напряжений приводятся к центрам прямоугольников, составленных из соседних треугольников).

Рис. 5. Примеры визуализации результатов расчета.

Литература:

Фадеев А.Б. Метод конечных элементов в геомеханике. – М.: Недра, 1987. – 221с.
Ержанов Ж.С., Каримбаев Т.Д. Метод конечных элементов в задачах механики горных пород. – Алма-Ата: Наука, 1975. – 239 с.
Зинкевич О. Метод конечных элементов в технике: Пер. с англ. – М.: Мир, 1975. - 542 с.
Норри Д., де Фриз Ж.. Введение в метод конечных элементов: Пер. с англ. – М.: Мир, 1981. – 304с.
Carlos A. Felippa. Introduction to Finite Element Methods. – Department of Aerospace Engineering Sciences and Center for Aerospace Structures University of Colorado, Boulder. – 2001.
Kyran D. Mish, Leonard R. Herrmann, LaDawn Haws. Finite Element Procedures in Applied Mechanics (попадалось где-то в инете).
Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. – М.: Мир, 1986. – 318 с.
Зенкевич О., Чанг И. Метод конечных элементов теории сооружений и в механике сплошных сред. – М.: Недра, 1974. – 240 с.

Ссылки:

http://www.fea.ru/ ...Сайт FEA.RU посвящен актуальным проблемам конечно-элементной механики и компьютерного инжиниринга (CAE), МКЭ и расчётам на прочность;
http://www.cae.ru/ форум CAD и CAE-систем в том числе теоретические и прикладные аспекты КЭ моделирования и решения задач механики деформируемого твердого тела. Механика конструкций, машин, сооружений и установок;
- Мощный каталог ресурсов, касающихся МКЭ;
http://www.isib.cnr.it/~secchi/EdMultifield/ - Сайт программы для конечноэлементных расчетов с неплохим описанием метода.

Существует тьма программ, считающих по МКЭ. Не вдаваясь в подробности того, почему метод столь хорош и широко применим, заглянем в процесс расчета изнутри. Казалось бы все просто, почему бы не попробовать собрать свой велосипед, т.е. сделать свою программу. На первом этапе отлаживать, тестировать и настраивать расчет можно в MathCAD. Позже уже отлаженный алгоритм расчета для удобства ввода данных и анализа результатов можно будет переписать на C#, прикрутив немного графики.

С чего начинать. Так как моя глобальная задача - моделирование грунта, то и начинать расчеты буду с задач теории упругости.

Вот пример задачки, которую нужно разобрать. Упругие треугольные простейшие КЭ. Схема составлена и решена в программе FEMmodels 2.0 . Повторим это в MathCAD.

Дискретизация области,

Определение аппроксимирующих функций для элемента.

Составление уравнений, описывающих всю систему.

Решение уравнений

Я начну немного не с разбиения области, а со второго пункта - определения функций для конечного элемента. Простейший конечный элемент для расчета плоской задачи теории упругости - треугольник с линейной функцией аппроксимации:

Рис. 1. Аппроксимирующая функция и получение коэффициентов для неё.
Так как у нас две степени свободы в каждом узле (по X и по Y), добавляется ещё одна аналогичная функция.
Суть всех манипуляций - получение зависимости между перемещениями узлов элемента и возникающих в нем деформаций. Так как у нас 6 компонент перемещений и 3 деформаций, связь осуществляется через некоторую матрицу B размерностью 3х6 (матрица производных от функций форм). Это первая матрица для построения элемента.
Также нужна матрица, выражающая взаимосвязь деформаций и напряжений (матрица D). Для упругого тела эта зависимость является обобщенным законом Гука.

Ещё одно маленькое отступление от темы, матрица D для случая плоского напряженного состояния другого вида. Когда нужно рассчитать, например, основание насыпи под жд пути или основание протяженного здания, тогда можно считать плоскую задачу, поскольку деформации вдоль насыпи или здания можно принять нулевыми. Для получения D приравнивают e z =0. Если же считать стену здания, на которую деуствуют силы только в плоскости стены, тоже можно считать плоскую задачу, только там деформации из плоскости сечения будут, а напряжений нет, считаем sigma z =0.

Общая матрица элемента K e:=B T D B V

Не буду пересказывать математические основы этого вывода, расскажу краткий физический смысл.
Пример матрицы K e:

Число строк и столбцов соответствует числу степеней свободы. K i,j = усилию в направлении степени свободы j от приложения единичного перемещения по направлению степени свободы i. Тогда, например, для нашего элемента в качестве проверки можно сложить четные/нечетные элементы по какой либо строке или столбцу, по смыслу нашего элемента это будут реакции в закреплениях по Х или Y соответственно и их сумма естественно равна нулю. Матрица является вырожденной, по физ. смыслу это обозначает, что незакрепленный элемент имеет неопределенные усилия/реакции в узлах.

Дальше проще. Нужно собрать глобальную матрицу системы из отдельных элементов. По всем степеням свободы системы (строки и столбцы матрицы К) записываем соответствующие реакции от отдельных элементов. Дольше всего возился с этим преобразованием, а в результате вот такой простой алгоритм с 5 вложенными циклами:

Дальше еще проще, собираем вектора сил, для всех незакрепленных степеней свободы P , из К вычеркиваем строки и столбцы с закрепленными степенями свободы и получаем систему линейных уравнений: K * u = P; решаем u = K -1 P даже не особо задумываясь пока об неэкономичности этого метода в плане вычислительной мощности, ибо задача мала.

Самым неприятным моментом решения в маткаде осталось неудобство ввода исходных данных и анализ результатов. Однако все процедуры алгоритмизируются и, например, функция расстановки всех закреплений занимает 8 строчек, а в 11 строк составлется список из n x n x 2 элементов (242шт в примере).

Мои две следующие задачи: элементы с более сложной аппроксимацией, позволяющие уменьшить количество элементов и уточнить решение,и основное, нелинейные элементы. В этом случае матрица K будет зависима от пермещений и решение существенно усложняется. K(u)*u=P(u). В общем случае вектор внешних сил тоже зависит от перемещений u.

Источники знаний:
1. Лекции 2008г на кафедре ОиФ ПГУПС. Шашкин К.Г.
2. Сегерлинд "Применение метода конечных элементов" (1979)
3. А.Л. Розин

Я уже давно использую Mathcad в расчетах, наверное, лет 15, если не больше. Работал в разных версиях Mathcad (2, 5, 6, 7, 8 … 15), то есть практически во всех версиях. Вначале с трудом осваивал, затем с восхищением использовал в расчетах (учебных и научно-исследовательских).

Семь лет назад стал бета-тестером фирмы Mathsoft (принимал участие в тестировании новых версий Mathcad ). Многократно выступал с предложениями по усовершенствованию пакета Mathcad , превращению его в мощное средство программирования и решения сложных расчетных задач. Получал от Mathsoft благодарности и стандартные ответы типаNous hardly thought on those questions (мы напряженно думаем над этими вопросами).

Фирма Mathsoft хоть что-то делала для совершенствования математического аппарата Mathcad . Несколько лет назад фирму Mathsoft купила фирма PTC , основной продукт которой пакет ProEngeneer – ProMechanica . Для них Mathcad побочный продукт. Специалисты, разрабатывавшие Mathcad , ушли. На мой взгляд, изменилась стратегия. Разработанный РТС новый вариант (не версия, а принципиально новый пакет) Mathcad Prime похож на мощный калькулятор с принципиально другим интерфейсом и, на мой взгляд, неудобный в работе (при решении достаточно сложных задач со сравнительно большой программой). К тому же Mathcad Prime пока ещё несовместим со старыми версиями (даже с mathcad 15) По просьбам пользователей РТС вернулась (на время) к старому направлению и выпустила Mathcad 15, являющийся математически 100% копией Mathcad 14. Всё. Приехали.

В каком же состоянии остался, брошенный хозяевами Mathcad ?

Отличный математический пакет для решения задач средней сложности и практически не пригоден для решения сложных задач, типа метода конечных элементов.

Основное препятствие на пути решения сложных универсальных программ отсутствие возможности выбора вариантов расчета . В Mathcad очень сложно обойти ненужный в данном варианте расчета оператор. Ну хотя бы позволили переход на метку, презираемый программистами, но нужный для расчетчиков. (Обойти отдельный оператор можно с помощью оператора ON ERROR).

Что касается метода конечных элементов, то тут я полностью согласен с фирмой РТС. Использование Mathcad для решения задач методом конечных элементов это, извините, “шизо”. Для этого существует много различных вычислительных комплексов, например, ANSYS или тот же ProEngeneer . Я использую Mathcad для решения задач МКЭ только для изучения алгоритма МКЭ. Фактически, выложенная для скачивания курсовая работа представляет собой действующую модель вычислительного комплекса в разрезе. В курсовой работе наглядно виден алгоритм МКЭ (в виде работающих формул). Изучение и запоминание этого алгоритма и есть цель курсовой работы по МКЭ, а вовсе не получение близких к достоверным результатов расчета.

Математическое ядро Mathcad несовершенно (и не совершенствуется вовсе) .
В результате при расчете курсовой работы, например, при корректировке размеров поперечных сечений, при изменении одного из размеров вдруг перестает решаться система уравнений (деление на ноль) или первая собственная частота вдруг оказывается комплексным числом. Небольшая корректировка того же размера и решение появляется вновь . При решении систем уравнений результат расчета иногда резко меняется при изменении значений начальных приближений, или при выборе другого метода расчета (в контекстном меню). Иногда удается повысить точность расчета, выбрав в менюИнструменты ( Tools ) -Опции (Worksheet Options ) TOL = 10 -8 вместо TOL = 10 -3 , но далеко не всегда это помогает правильно решить задачу

Размер: px

Начинать показ со страницы:

Транскрипт

1 Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тихоокеанский государственный университет» РЕШЕНИЕ ДВУМЕРНОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В MAHCAD Методические указания и контрольные задания к выполнению лабораторной работы по курсу «Аналитические и численные методы решения уравнений математической физики» для студентов, обучающихся в магистратуре Хабаровск Издательство ТОГУ

2 УДК 9./. 7. Решение двумерной задачи теплопроводности методом конечных элементов в MAHCAD: методические указания и контрольные задания к выполнению лабораторной работы по курсу «Аналитические и численные методы решения уравнений математической физики» для студентов, обучающихся в магистратуре / сост. Л. М. Иванников. Хабаровск: Изд-во Тихоокеан. гос. ун-та,. 8. Методические указания составлены на кафедре «Механика деформируемого твердого тела». Включают содержание лабораторной работы и рекомендации к изучению разделов курса «Аналитические и численные методы решения уравнений математической физики», необходимых к ее выполнению, список рекомендуемой литературы и задачи для лабораторной работы.. Печатается в соответствии с решениями кафедры «Механика деформируемого твердого тела» и методического совета института строительства и архитектуры. Тихоокеанский государственный университет,

3 ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ Целью лабораторной работы является усвоение алгоритма расчета двумерных задач теплопроводности методом конечных элементов. где УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА ТЕПЛА Уравнение плоской задачи теплопроводности имеет вид K, K, K, K коэффициенты теплопроводности в направлении осей, искомая функция температуры;, квт., >, если тепло подводится к телу. м Граничные условия ставятся двух типов: квт м К источник тепла внутри тела,. Г, если температура известна на некоторой части границы Г, где Г Г известная температура в точках границы, зависящая от координат точек поверхности s на границе Г;, Г,. K l K m h q, если на части поверхности Г происходит конвективный теплообмен, характеризуемый величиной h, или задан поток тепла q, на части поверхности Г, причем Г Г Г. Обозначения в и: h коэффициент теплообмена, квт;, м К неизвестная температура на границе, К; известная температура окружающей среды, К; l, m направляющие косинусы; q, известный поток тепла, квт, считается положительным, если тепло теряется телом. Поток тепла и конвективная теплоотдача на одном и том же участке не могут действовать одновременно. Если имеет место теплоизолированная граница, то поток тепла равен нулю и конвективный теплообмен отсутствует, тогда граничное условие запишется так: где n внешняя нормаль к границе рассматриваемой области. n м, ;

4 ФУНКЦИОНАЛ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ Решение уравнения по области s с граничными условиями и на Г эквивалентно отысканию минимума функционала Г h q s K K Ф Г s,. При решении задачи МКЭ область s разбивается на n подобластей конечных элементов, которые обычно принимаются в форме треугольников рис.. Далее все формулы приводятся для треугольных КЭ. Функционал записывается как сумма вкладов всех конечных элементов по области. Тогда примет вид n Г Г s s Г Г q s s g D g Ф, где g ; K K D матрица коэффициентов теплопроводности. Или, Ф Ф n. Представим температуру, изменяющуюся в пределах КЭ, через узловые значения:, где матрица функций формы КЭ, учитывающая распределение температуры в пределах КЭ. Тогда g или B g, где B матрица градиентов функций формы КЭ. Для каждого КЭ теперь можно записать вклад каждого КЭ в выражение для функционала:

5 . Г h Г h Г h Г q s B D B Ф Г Г Г Г s s е Минимум функционала требует выполнения следующего условия: n Ф Ф. Для отдельного КЭ получим F k Ф, где матрица теплопроводности КЭ k имеет вид Г Т s Г h s B D B k, а вектор внешнего воздействия будет Г h Г q s F Г s Г. Для всей рассматриваемой области получим n F k Ф, или F K, где n k K, n F F. Уравнение является основным уравнением для решения задачи теплопроводности методом конечных элементов. ДВУМЕРНЫЙ СИМПЛЕКС ЭЛЕМЕНТ Для решения плоской задачи теплопроводности используется треугольный КЭ с прямолинейными сторонами см. рис.. Нумерация узлов проводится против часовой стрелки, начиная с некоторого узла, обозначаемого единицей. Нумерация сторон КЭ приведена на рис..

6 Y X,Y Сторона Сторона X,Y Сторона X,Y Направление нумерации X Рис.. Треугольный конечный элемент Узловые значения температуры обозначаются,. Температура в точке КЭ с координатами, определяется по формуле. Ниже приводятся функции формы, применяемые для этого КЭ. a X Y, A a X Y A a X Y A Площадь КЭ вычисляется по известной формуле X Y A X Y. X Y Коэффициенты, входящие в функции формы, зависят от координат узлов, они приведены ниже: a X Y X Y, a X Y X Y,. a X Y X Y, Y Y, X X, Y Y, Y Y, X X. X X

7 7 ПРИМЕНЕНИЕ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНЫХ КЭ ДЛЯ ГЕНЕРАЦИИ СЕТКИ Для предварительного нанесения сетки с крупной ячейкой разбивкой области на зоны используются четырехугольные квадратичные элементы рис.. На каждой стороне КЭ вводится по три узла. Сторона 7 8 Сторона Сторона Сторона Рис.. Четырехугольный квадратичный КЭ На рис. показаны местные относительные координатные оси, в которых узел имеет координаты ξ, ; узел ξ, ; узел ξ, ; узел 7 ξ,. Нумерация узлов такого КЭ, начиная с узла, проводится против часовой стрелки. Узлы, 8 могут располагаться в произвольной точке соответствующей стороны, что позволяет в дальнейшем строить более густую сетку вблизи точечных воздействий. В дальнейшем каждая сторона такого КЭ разбивается на заданное число участков. Нумерация узлов проводится следующим образом: по вертикали от узла с координатами, вниз по оси и слева направо по оси. Таким образом, крупные элементы делятся на более мелкие, которые в свою очередь меньшей по длине диагональю разбиваются на треугольные КЭ. Треугольные участки зоны также представляются в виде четырехугольных квадратичных элементов рис.. 7 Сторона 8 η Сторона Сторона ξ Сторона Рис.. Представление треугольной области в виде четырехугольного квадратичного элемента

8 8 МАТРИЦА ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ КЭ Для треугольного КЭ матрица теплопроводности имеет вид, L h L h L h A k A k k где, L L L длины соответствующих сторон КЭ. Последние три члена учитывают конвективный теплообмен по каждой стороне КЭ. Так как КЭ входит составной частью в рассматриваемую область, то конвективный теплообмен обычно происходит по одной или двум сторонам КЭ. ВЕКТОР ВНЕШНИХ ВОЗДЕЙСТВИЙ НА КЭ Внешними известными воздействиями являются:. Источник тепла внутри КЭ постоянной интенсивности.. Приток тепла за счет теплового потока q.. Конвективный теплообмен не более чем по двум сторонам КЭ с коэффициентом теплообмена h.. Точечный источник тепла, * Y X, находящийся внутри КЭ. Вектор внешних воздействий на КЭ имеет вид., * Y Y X X L L L h q F ГРАДИЕНТЫ ТЕМПЕРАТУР И СРЕДНЯЯ ТЕМПЕРАТУРА ПО КЭ Градиенты температур и средняя температура по КЭ вычисляются по следующим формулам: A Graу Gra,

9 9. ср k k ПОРЯДОК РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ В MAHCAD НАНЕСЕНИЕ СЕТКИ УЗЛОВ НА РАССМАТРИВАЕМУЮ ОБЛАСТЬ Область решения задачи помещается в систему глобальных координат X, Y. Рассматриваемая область должна быть покрыта сеткой узлов. Чем меньше будет ячейка сетки, тем точнее будет решение задачи. Нанесение сетки проводится согласно в этапа. I этап. Рассматриваемая область разбивается на ряд прямоугольных и треугольных зон четырехугольные квадратичные элементы. Зоны нумеруются в произвольном порядке. Для каждой такой зоны задаются 8 узловых точек по три на каждой стороне, включая угловые точки. Для треугольной зоны одна из сторон соответствует двум сторонам прямоугольника точек. Таким образом, при разбивке на зоны используются четырехугольные квадратичные элементы. Составляются следующие таблицы исходных данных: а Табл. соединения зон, определяющая, какие стороны зон контактируют между собой. Соединение зон в рассматриваемой области. Таблица. Номер зоны Сторона Сторона Сторона Сторона В приведенной табл. показано, что зона контактирует только с зоной по первой стороне, зона контактирует с зоной по первой стороне и с зоной по четвертой стороне. Зона контактирует только с зоной по второй стороне рис.. Нумерация сторон зависит от ориентации местных осей в относительных координатах, которые показаны на рисунке жирными цифрами. На рис. показано направление нумерации узлов зон от начального узла Н.

10 Зона Н Зона Н Зона Рис.. Формирование таблицы соединения зон б. Табл. координат узлов, нанесенных на границы зон, в принятой глобальной системе координат. Координаты узлов на границах зон Таблица. Н Номер Координата Координата узла Х, см Y, см... в. Табл., в которой указывается число полос по вертикали и горизонтали, на которые разбивается каждая зона для получения сетки с ячейками меньших размеров. Формирование сетки с меньшими по размеру ячейками Таблица. Номер зоны Число полос по высоте Число полос по ширине Зона разбивается на пять полос по высоте и шесть полос по ширине. г. Табл., в которой для каждой зоны указываются ранее нанесенные узлы.

11 Номера узлов предварительной сетки для каждой зоны Таблица. Номер зоны Номера узлов четырехугольных КЭ В табл. указано, что восемь узлом второй зоны имеют такие номера при обходе рассматриваемой зоны против часовой стрелки. II этап. Далее в Matha реализована программа gri, в которой задается число полос по высоте и ширине для каждой зоны, позволяющее разбить каждую зону на прямоугольники гораздо меньших размеров. Затем каждый из этих малых прямоугольников меньшей по длине диагональю делится на два треугольника и вся рассматриваемая область покрывается сеткой с треугольной ячейкой. В результате работы этой программы выдаются следующие данные: a. Число треугольных КЭ Kol_Elm. б Следующие табл., 7. Нумерация узлов сетки по сторонам зон Таблица Uzl_Zon 9 Таблица выдается в форме матрицы размером число полос зоны по высоте число полос зоны по ширине для каждой зоны, что упрощает построение сетки. Приведенная матрица показывает, что в зоне на стороне располагаются узлы, ; на стороне располагаются узлы, ; на стороне узлы, ; на стороне узлы, 9,. Обход зоны против часовой стрелки. Эта нумерация показана в приведенном ниже примере. Расположение КЭ и принадлежность узлов КЭ треугольной сетке Таблица Номер зоны Номер КЭ Узел КЭ Узел КЭ Узел КЭ

12 Координаты узлов КЭ Таблица 7 Номер узла Координата X Координата Y Также могут быть выведены таблицы, связывающие номер зоны, номер КЭ и координаты узлов КЭ. На схему рассматриваемой области вручную наносится сетка с нумерацией КЭ и их узлов. ФОРМИРОВАНИЕ ВЕКТОРА ВНЕШНИХ ВОЗДЕЙСТВИЙ На основании построенной сетки для рассматриваемой области отмечаются: а Номера сторон, по которым происходит конвективный обмен тепла. б Номера узлов, в которых температура задана. в Номера КЭ, в которых на их сторонах, узлах или внутри располагаются сосредоточенные тепловые источники. Составляются следующие табл. 8, 9,. Стороны области с конвективной теплоотдачей Таблица 8 Номер КЭ Номер стороны Номер стороны Предполагается, что конвективный теплообмен возможен только по двум сторонам КЭ из трех. Узлы с заданной температурой Таблица 9 Номер узла Температура

13 Таблица точечных источников тепла Таблица Величина, Вт Номер элемента Координаты источника, см, см, В результате решения задачи выводятся: Таблица величин температуры в узлах КЭ. Таблица градиентов температур Gra, Gra по осям Х и Y соответственно. Таблица средней температуры Тsr по каждому КЭ. Распределение температур по рассматриваемой области с указанием величин изотерм. ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫ В теплопроводящей среде проходят кабеля, как показано на рис.. Среда имеет коэффициенты теплопроводности. Коэффициент теп- см К лообмена на поверхности среды h K Вт см К K Вт. По боковым сторонам рассматриваемая среда ограничена толстым слоем изоляции. Температура воздуха на поверхности среды C. Температура нижнего слоя среды C. Мощность излучения тепла каждым кабелем составляет Вт. Требуется:. Определить распределение температуры в заданной области.. Определить градиенты температур и среднюю температуру по области.. Построить графики изменения полученных величин. УКАЗАНИЯ: а при выполнении лабораторной работы учесть симметрию области и симметрию температурного воздействия; б разбить рассчитываемую часть области на три или четыре зоны; в каждую зону разбивать от трех до пяти полос по высоте и ширине для упрощения нанесения сетки на область.

14 = С см см см см = C см см 8 см см см Рис.. Кабели в теплопроводящей среде РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ Учитывая симметрию рассматриваемой области, в расчете будем учитывать только половину этой области рис.. = C = Вт = Вт Ось симметрии см см см = C см см см Рис.. Рассматриваемая в расчете область Поместим рассматриваемую область в систему глобальных осей X и Y и разобьем ее на три зоны, на стороны которых нанесем узлы, полагая зоны четырехугольными квадратичными элементами рис. 7. Пронумеруем зоны и узлы, обходя область против часовой стрелки. Для определения номеров сторон зон для каждой зоны устанавливается система местных осей,.

15 Y см см см см X, см Рис. 7. Предварительная разбивка области на зоны Для более точного решения задачи необходимо узлы на границе зон располагать ближе к точечным источникам тепла. Составляются исходные данные для назначенных зон и узлов табл.,. Программа расчета выдает табл., 7, представляющие полную информацию о треугольной сетке, нанесенной на область, используемую в дальнейшем расчете. По этим таблицам на листе строится сетка рис. 8. Y X Рис. 8. Треугольная сетка, нанесенная на область По полученной сетке проводится учет внешнего температурного воздействия и составляются табл. 8, 9,. После чего в табличной форме выводят-

16 ся результаты решения задачи и их графическое представление на рис. 9 и. ORIGI Вт Вт Chislo_Zon K K см К см К Koor Т О C X Y РАСПЕЧАТКА РЕШЕНИЯ ЗА- ДАЧИ Zon Uzl Н о м е р З о н ы h Вт см К Т а б л и ц а с о е д и н е н и я з о н Rowol Т а б л и ц а д а н н ы х д л я к а ж д о й з о н ы Rows Cols Т а б л и ц а у з л о в с е т к и д л я к а ж д о й з о н ы Р Е З У Л Ь Т А Т Ы Р Е Ш Е Н И Я П О С О З Д А Н И Ю С Е Т К И К Э У З Л Ы С Е Т К И П О Г Р А Н И Ц А М З О Н Uzl_Zon Uzl_Zon 7 8

17 7 Uzl_Zon 9 Kol_Elm Т А Б Л И Ц А К Э " Зоны" " КЭ" "Узел КЭ " "Узел КЭ " "Узел КЭ " al_ke

18 8 К О О Р Д И Н А Т Ы У З Л О В К Э X Y stor Ф О Р М И Р О В А Н И Е В Е К Т О Р А В Н Е Ш Н И Х В О З Д Е Й С Т В И Й Т а б л и ц а с т о р о н К Э с к о н в е к т и в н о й т е п л о о т д а ч е й " эл-т а" " Ст ор" " Ст ор" 7

19 _uzl 9 Т а б л и ц а у з л о в с з а д а н н о й т е м п е р а т у р о й " Узла" Температ ура" Т а б л и ц а т о ч е ч н ы х и с т о ч н и к о в т е п л а "Величина " Элемент а " " " " ". Р Е З У Л Ь Т А Т Ы Р Е Ш Е Н И Я З А Д А Ч И Т е м п е р а т у р а в у з л а х э л е м е н т о в

20 Г р а д и е н т ы т е м п е р а т у р и с р е д н я я т е м п е р а т у р а п о К Э Gra Gra sr

21 ,7,8,78 Y 9,7,8,9,9, + + +,88 7,7 9,7, + 9,87 7,98,9 X Рис. 9. Эпюра распределения температуры по линиям сетки Y XY X Рис.. Распределение температуры по области

22 ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ ДЛЯ ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫ В теплопроводящей среде, как показано на схеме, проходят кабели, излучающие тепло. Среда имеет коэффициенты теплопроводности K и K. Коэффициент теплообмена на поверхности среды h. На некоторых участках рассматриваемая среда ограничена толстым слоем изоляции. Температура воздуха на отдельных участках среды, где происходит конвективный теплообмен, Т. На некоторых участках среды задана температура Т. Мощность излучения тепла каждым кабелем составляет. Требуется, используя исходные данные для своего варианта и схему задания табл., рис. :. Определить распределение температуры в заданной области.. Определить градиенты температур и среднюю температуру по области.. Построить графики изменения полученных величин. ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ Исходные данные к лабораторной работе по вариантам Таблица Номер Варианта а, см, см, см, см, см, Квт, С, С K, Вт см К K, Вт см К h, Вт см К

23 a a a a a a a a a a a a Рис.. Схемы вариантов задний для лабораторной работы

24 7 8 a a a a 9 a a a a a a a a Рис.. Продолжение

25 a a a a a a a a 7 8 a a a a Рис.. Окончание

26 КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ. Запишите уравнение теплопроводности для двумерной задачи.. Запишите граничные условия для двумерной задачи теплопроводности.. Запишите полный функционал решения задачи теплопроводности.. Выведите основное уравнение для решения двумерной задачи теплопроводности методом конечных элементов.. Какие конечные элементы используются для решения двумерной задачи теплопроводности?. Как определяются функции формы для двумерного симплекс элемента? 7. С какой целью используются четырехугольные квадратичные элементы? 8. Как выбирается система местных координат и проводится нумерация сторон четырехугольного квадратичного элемента? 9. Запишите матрицу теплопроводности для треугольного КЭ.. Как формируется матрица теплопроводности для рассматриваемой области?. Как формируется вектор внешних тепловых воздействий для КЭ?. Как формируется вектор внешних воздействий для рассматриваемой области?. Как определяются градиенты температур и средняя температура по КЭ?. Как проводится нанесение сетки на рассматриваемую область?. Какие исходные данные необходимо подготовить для нанесения сетки?. Какие выходные данные используются для построения сетки и как она наносится на область? 7. Какие данные необходимо внести для формирования вектора внешних тепловых воздействий? 8. Как учесть знак величины точечного источника тепла? Притока тепла? 9. Какие выходные данные получаются в результате решения задачи теплопроводности? Библиографический список. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике / О. Зенкевич. М. : Мир, 97. с.. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов/ Л. Сегерлинд. М.: Мир, с.

27 7 ОГЛАВЛЕНИЕ ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ. Уравнение переноса тепла. Функционал решения задачи теплопроводности... Двумерный симплекс элемент..... Применение четырехугольных КЭ для генерации сетки.... Матрица теплопроводности КЭ....8 Вектор внешних воздействий на КЭ....8 Градиенты температур и средняя температура по КЭ 8 Порядок решения задачи теплопроводности в Matha... 9 ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫ... РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ. Распечатка решения задачи... ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ ДЛЯ ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫ... Контрольные вопросы. Библиографический список

28 8 РЕШЕНИЕ ДВУМЕРНОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В MAHCAD Методические указания и контрольные задания к выполнению лабораторной работы по курсу «Аналитические и численные методы решения уравнений математической физики» для студентов, обучающихся в магистратуре. Иванников Леонид Матвеевич Главный редактор А. А. Суевалова Редактор Т. Ф. Шейкина Оператор компьютерной верстки Л. М. Иванников Подписано в печать Формат 8. Бумага писчая. Гарнитура «Таймс». Печать цифровая. Усл. печ. л. Тираж экз. Заказ Издательство Тихоокеанского государственного университета. 8, Хабаровск, ул. Тихоокеанская,. Отдел оперативной полиграфии издательства Тихоокеанского государственного университета. 8, Хабаровск, ул. Тихоокеанская,.

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тихоокеанский государственный университет» МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ Методические указания и варианты заданий по выполнению

Частные

РСЧЕТ ОПОРНЫХ РЕКЦИЙ И УСИЛИЙ СТЕРЖНЯХ ПЛОСКИХ ФЕРМ Хабаровск 00 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тихоокеанский государственный

Метод конечных элементов 1. Область применения МКЭ. 2. Основная концепция МКЭ. 3. Преимущества МКЭ. 4. Разбиение расчётной области на конечные элементы. 5. Способ аппроксимации искомой функции в конечном

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Нижегородский государственный архитектурно-строительный

ОЦЕНКА КАЧЕСТВА ЗНАНИЙ СТУДЕНТОВ Методические указания к проведению входного контроля перед изучением курса «Сопротивление материалов» Хабаровск 006 Федеральное агентство по образованию Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение Высшего профессионального образования Тихоокеанский Государственный университет Тепловая напряженность деталей ДВС Методические

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тихоокеанский государственный университет»

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ Бережной Д.В. Тазюков Б.Ф. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ Учебно-методическое пособие

Использование метода конечных элементов и метода конечных разностей при расчете тепловой напряженности деталей ДВС Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение Высшего

ОБЪЕМНОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ РАБОТЫ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ СТАНОЧНЫХ СИСТЕМ Х а б а р о в с к 2 0 0 9 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тихоокеанский государственный университет» РАСЧЕТ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ

ПЕРСПЕКТИВА СЛОЖНЫХ АРХИТЕКТУРНЫХ ФОРМ Хабаровск 2008 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тихоокеанский государственный

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тихоокеанский государственный университет» ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНДУКТИВНОСТИ КАТУШКИ Методические

КОМПЬЮТЕРНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ РАСЧЕТА ТЕМПЕРАТУРНОГО ПОЛЯ ЗАГОТОВКИ, ОБРАБАТЫВАЕМОЙ РЕЗАНИЕМ Смирнов В.В., Спиридонов Ф.Ф., Некрасов И.А. Бийский технологический институт, г.бийск Аннотация

Л И Т Е Р А Т У Р А 1. К о ж е у р о в, В. А. Термодинамика металлургических шлаков / В. А. Кожеуров. Свердловск: ГНТИЛ, 1955. 164 с. 2. D a r k e n, L. S. Thermodynamics of binary metallic solutions /

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им РЕ АЛЕКСЕЕВА»

Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра «Механика деформируемого твердого тела, основания и фундаменты» А. А. Лахтин ДИНАМИЧЕСКИЙ

Казанский государственный университет Р.Ф. Марданов ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ Учебно-методическое пособие Издательство Казанского государственного университета 2007 УДК 517.9

НЕЯВНАЯ СХЕМА РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ НА КВАДРАТНОЙ АДАПТИВНОЙ СЕТКЕ Н.Г. КАРЛЫХАНОВ, А.В. УРАКОВА Российский федеральный ядерный центр Всероссийский НИИ технической физики им. акад.

Министерство образования Российской Федерации Хабаровский государственный технический университет Утверждаю в печать И. О. ректора университета профессор Каминский А.И. 2001г. ПОСТРОЕНИЕ КРЫШИ Методические

Федеральное агентство по образованию Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ) Кафедра информационной безопасности ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ФОРМУЛА ЛАГРАНЖА Методические указания к выполнению

УДК 519.624.1 Способы учета граничных условий I рода при решении задач методом конечных элементов Введение Корчагова В.Н., студент Россия, 105005, г. Москва, МГТУ им. Н.Э. Баумана кафедра «Прикладная математика»

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Томский государственный архитектурно-строительный университет УДК 39.3 Расчет балки стенки методом конечных разностей: методические указания /Сост. И.Ю. Смолина, Д.Н.

Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра «Мосты и транспортные тоннели» А. А. Лахтин Расчет прямоугольной пластины методом конечных

3. Искусственная вязкость Для того, чтобы разобраться с механизмом возникновения искусственной схемной вязкости, рассмотрим двумерную задачу конвективного распространения тепла при малых скоростях газового

Введение Методические указания содержат 26 вариантов индивидуальных домашних заданий по темам «Прямая на плоскости и в пространстве», «Плоскость», «Кривые и поверхности второго порядка». Под индивидуальными

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Расчет плоской

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО- РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Оборудование и технология сварочного производства» КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СВАРОЧНЫХ ПРОЦЕССОВ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО СВЯЗИ Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ им.

Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей и сообщения Кафедра «Механика деформируемого твердого тела, основания и фундаменты» А. А. Лахтин СТРОИТЕЛЬНАЯ

Вычислительные технологии Том 1, 1, 1996 ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ АЛГОРИТМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ МАТРИЦ ЖЕСТКОСТИ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА МНОГОМЕРНЫХ ЗАДАЧ МАТФИЗИКИ А. Д. Матвеев Вычислительный центр СО РАН в г.

РЯДЫ Хабаровск 4 4 ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Числовым рядом называется выражение, где, числа, которые образуют бесконечную числовую последовательность, общий член ряда, где N (N множество натуральных чисел) Пример

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тихоокеанский государственный университет» ИЗМЕНЕНИЕ ЭНТРОПИИ В НЕОБРАТИМЫХ ПРОЦЕССАХ

Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова Кафедра алгебры и математической логики Кривые второго порядка Часть I Методические указания

УДК 59.6:5 МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВУМЕРНОГО НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ ВОДЫ В ОТКРЫТЫХ РУСЛАХ Ш.Х. Рахимов И. Бегимов САНИИРИ Процессы протекающие в водохозяйственных объектах происходят в многомерной двумерной

1. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА 1.1. Электрическая цепь, ее элементы и параметры Основные электротехнические устройства по своему назначению подразделяются на устройства, генерирующие электрическую

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ» КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» М. В. ИШХАНЯН, А.И.

Кинематический анализ зубчатых механизмов PDF created wth pdffactory Pro tral verson www.pdffactory.com ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального

ПРОИЗВОДНАЯ, ЕЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ И ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ Приращением функции = f() называется разность f f, где - приращение аргумента Из рис видно, что g () Рис Производной функции = f() в точке называется конечный

УДК 519.642:539.3:624.044:624.15 Интерактивные Методы построения пространственной гранично-элементной сетки А. А. Вахтин Воронежский государственный университет Рассматриваются алгоритмы построения пространственной

МОДУЛЬ ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ Специальность 300 «Техническая физика» Лекция Теплопроводность плоской стенки без внутренних источников тепла Температурное поле в плоской стенке при граничных условиях первого

Министерство образования и науки Российской Федерации Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б. Н. Ельцина ИССЛЕДОВАНИЕ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ МЕТОДОМ МОДЕЛИРОВАНИЯ Методические

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙCКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Брянский государственный технический университет УТВЕРЖДАЮ Ректор университета О.Н. Федонин 2014 г. ПЕЧИ ЛИТЕЙНЫХ ЦЕХОВ РАСЧЕТ ПАРАМЕТРОВ ТЕПЛООБМЕНА

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тихоокеанский государственный университет» ИССЛЕДОВАНИЕ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ Методические

Федеральное агентство по образованию Томский государственный архитектурно-строительный университет Картограмма земляных работ Методическое указание Составитель Ю.М. Акумянский Томск 2008 3 Картограмма

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тихоокеанский государственный университет» ИССЛЕДОВАНИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ СОЛЕНОИДА

12 июня 2017 г. Совместный процесс конвекции и теплопроводности называется конвективным теплообменом. Естественная конвекция вызывается разностью удельных весов неравномерно нагретой среды, осуществляется

Федеральное агентство по образованию РФ Уральский государственный лесотехнический университет Кафедра Сопротивления материалов и теоретической механики В. А. Калентьев В. М. Калинин Л. Т. Раевская Н. И.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» В. К. Манжосов,

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Саратовский национальный исследовательский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского» кафедра математической

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Томский государственный архитектурно-строительный

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Федеральное агентство по образованию Томский государственный архитектурно-строительный университет КАРТОГРАММА ЗЕМЛЯНЫХ РАБОТ Методические указания к лабораторной работе Составитель Ю.М. Акумянский Томск

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ.. ЛИНИИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА (ПРЯМЫЕ НА ПЛОСКОСТИ... ОСНОВНЫЕ ТИПЫ УРАВНЕНИЙ ПРЯМЫХ НА ПЛОСКОСТИ Ненулевой вектор n перпендикулярный заданной прямой называется нормальным

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тихоокеанский государственный университет» ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕЖИМОВ РУЧНОЙ ДУГОВОЙ СВАРКИ

Теплопроводность. Теория Теплопроводность это процесс распространения теплоты между соприкасающимися телами или частями одного тела с различной температурой. Для осуществления теплопроводности необходимы

3 Цель работы: изучение явления термоэлектронной эмиссии на примере диода 4Ц 4С. Задача: определение работы выхода электронов из вольфрама. Приборы и принадлежности: источник питания, вольтметр, кассета

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тихоокеанский государственный университет» МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ Методические

Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра «Высшая математика» И Н Пирогова Аналитическая геометрия в примерах и задачах Екатеринбург

СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА Часть Хабаровск 2003 Министерство общего образования Российской Федерации Хабаровский государственный технический университет СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА Часть Методические указания для

УДК 5-7: 6697 В Н Ткаченко д-р техн наук А А Иванова инженер Ин-т прикладной математики и механики НАН Уаины Уаина 83 Донецк ул Р Люксембург 7 тел 6336 E-ail: ivaova@iaadoetskua Моделирование и анализ

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Современные проблемы науки и техники 55 Подводя итог, отметим, что использование предложенных методов эффективнее применения метода штрафных функций, в том числе с самоадаптацией. Использование разделения

ОФОРМЛЕНИЕ ТАБЛИЦ Таблицы применяются для лучшей наглядности и удобства сравнения показателей (параметров). Название (заголовок) таблицы должно отражать ее содержание, быть точным и кратким. Таблицы, включая